Systèmes dynamiques : cours et exercices corrigés by Jean-Louis Pac

By Jean-Louis Pac

Cet ouvrage s'adresse aux élèves ingénieurs et aux étudiants des licences ou masters de body et de mathématiques appliquées. L'étude mathématique des systèmes dynamiques à temps continu débouche sur des functions variées en mécanique, en body, en astronomie voire en économie. Cet ouvrage présente les notions fondamentales de los angeles dynamique des systèmes : systèmes différentiels, état,  Read more...

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Flot n° 1 L ’é q u a tio n d ’é v o lu tio n d e l ’é ta t (x , y, z) e s t : -1/ X ÿ K1 > A N o n - a d d it i f à c a u s e d e l ’é q u a tio n z = 1 , c e s y s tè m e n ’e s t d o n c p a s lin é a ire . /-) fix. y. 6- Une trajectoire hélicoïdale. Al(x{) y(t) / l i/o TJ O c rj û «JD O CM Xo tH P osant I c o s Oq "" I = ^0 I I a v e c ro e R + e t \yo I \ sin Oq I f a it q u e z s ’in té g r e e n z(t) = zo + t : c o s t - s in r W Ao s in î cos t]\ y o ^1 ~ il v ie n t, c o m p te te n u d u xz DI ^ ro c o s ( / -I- Oo) ^ >• CL O U 0](L -Vqj yo, ^o) = ro s in ( r -H Oo) Zo + 1 • (-^0» yoj ^o) ^ f/Oj ^o) e s t u n d é p la c e m e n t d e R ^ , p r o d u it ( c o m m u ta tif ) d ’u n e tr a n s la tio n d e v e c te u r (0 , 0 , t) e t d ’u n e r o ta tio n d ’a n g le t a u to u r d e Oz.

M o n tr e r q u e to u t e n s e m b le X f e r m é d e e s t l ’e n s e m b le d e s é q u ilib r e s d ’u n s y s tè m e lip s c h itz ie n . 3 . M o n tr e r q u e to u t p o in t d ’a c c u m u la tio n d ’u n e n s e m b le d e s é q u ilib r e s S e s t u n é q u ilib r e s im p le m e n t s ta b le . 4 . M o n tr e r p a r d e s e x e m p le s q u ’u n p o in t is o lé d e S p e u t ê tr e u n é q u ilib r e s im p le ­ m e n t s ta b le o u a s y m p to tiq u e m e n t s ta b le . Physionom ie des équilibres sim plem ent stables A u v o is in a g e d ’u n é q u ilib r e s im p le m e n t s ta b le , le s p o r tr a its d e p h a s e s p e u v e n t ê tre trè s v a rié s .

2. Le théorème traduit une intégration sur un volume fini de l’égalité «divergence = dilatation volumique ». X e Ko devient à l’instant t le point (pit, x). Donc, V ( t ) est le volume du compact A', = J 0 (r, x). On peut noter de façon imagée K, = (p(t, Ko). X€Ko 3. V , on a = D, ce que l’on rapprochera de la redt marque 1 , qui en constitue la version ponctuelle : d{\nv) dt = Div/ , équation dans laquelle u est le volume massique, inverse de la masse volumique. 4. Les termes « dilatation » et « contraction » utilisés ci-dessus se rapportent à une mesure dans R", mais non à des longueurs : car une dilatation (ou contraction) nulle au sens volumique, c’est-à-dire une divergence nulle, peut s’accompagner d’une dilatation linéaire dans une direction et une contraction dans une autre.

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