Metamathematische Methoden in der Geometrie by Wolfram Schwabhäuser, Wanda Szmielew, Alfred Tarski (auth.)

By Wolfram Schwabhäuser, Wanda Szmielew, Alfred Tarski (auth.)

Das vorliegende Buch besteht aus zwei Teilen. Teil I enthält einen axiomatischen Aufbau der euklidischen Geometrie auf Grund eines Axiomensystems von Tarski, das in einem gewissen Sinne (auch für die absolute Geometrie) gleichwertig ist mit dem Hilbertschen Axiomensystem, aber formalisiert ist in einer Sprache, die für die Betrachtungen in Teil II besonders geeignet ist. Mehrere solche Axio­ mensysteme wurden schon vor langer Zeit von Tarski veröffentlicht. Hier wird nun die Durchführung eines Aufbaus der Geometrie auf Grund eines solchen Axiomensystems - unter Benutzung von Resultaten von H. N. Gupta - allgemein zugänglich gemacht. Die vorliegende Darstel­ lung wurde vom zuerst genannten Autor allein geschrieben, aber sie beruht zum Teil auf unveröffentlichten Resultaten von Alfred Tarski und Wanda Szmielew; daher gebührt ihnen ein Teil der Autorschaft. Mehr über Entstehung und Inhalt von Teil I sowie über die Geschichte der Tarskischen Axiomensysteme wird in der Einleitung (Abschnitt I.O) gesagt. Teil II enthält metamathematische Untersuchungen und Ergebnisse über verschiedene Geometrien, was once vielfac~ auf eine Anwendung von Methoden und Sätzen der mathematischen Logik auf Geometrien hinausläuft (vgl.

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Az.

Apb + bpa. 7 Satz (Transitivität). a~bAb~c+a~c. 8 Definition. h. fp) H(pa) :={xlx~a} nennen wir die durch a bestimmte von p ausgehende Hal-bgerade oder auch die Hal-bgerade von p aus durch a oder den entsprechend bestimmten Strahl.. Eine Punktmenge K ist eine Hal-bgerade ("half-line") oder ein Strahl. fp A K=H(pa)]. 9 Definition. Von p ausgehende Halbgeraden H(pa), H(pb) heißen zueinander entgegengesetzt oder auch H(pa) entgegengesetzt zu b (mit btp), falls Bapb ist. 10 Anmerkung. 2 ist diese Definition unabhängig von der Wahl der bestimmenden Punkte (Repräsentanten) auf H(pq) und (im ersten Falle) auf H(pb), und die zu einer Halbgeraden entgegengesetzte Halbgerade ist eindeutig bestimmt und von ihr verschieden.

70, wo solche Dimensionsaxiome unter Benutzung zusätzlicher Definitionen eingeführt werden, und zwar ein unteres und ein oberes Dimensionsaxiom Dirn- bzw. Dirn+ für die Dimension n, n n welches ausdrückt, daß die Dimension wenigstens bzw. höchstens n ist. Als Grundbegriff wird dafür nur die (hier mit der Zwischenbeziehung ausgedrückte) Kollinearität benötigt. Damit sind auch diese Axiome für verschiedene affine Geometrien geeignet. a. 43 bis 50). Damit wird es nahegelegt, für beliebige Dimension n auch Dimensionsaxiome zu betrachten, in denen die Streckenkongruenz als Grundbegriff auftritt.

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