By Didier Arques, Jean-Pierre Roth (auth.), Francis Hirsch, Gabriel Mokobodzki (eds.)
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2 : R~solvons A priori ~n = 0 , u = g g E L2(A) . Notons que sur A 8Bu --~n = O s'~crit U ~. B-n~gligeab le 35 PROPOSITION : Pour que ce probl~me et suffisant que " g " g v~rifie se prolonge en probl~me g (I u tel que solution se prolonge en car la valeur sur que d'autre part, la condition ~ E L2(A) En effet, s'il existe Si d'autre part air une solution A (I-T)H~ est l'application est : H~ • ~ " ~ = ~ prolonge ~ • L2(A), de (I-T)H{ (I-T)H{ est orthogonal u • $, il est n~cessaire g g sur A . 3 uniei:t~ de la solution de --~n=f o~ u f • L2(A) et f lA ~ v~rifie sur A , donne la solution du probl~me.
P. A et B est uniquement une hypoth~se de mesurabilit~. p. sur A' pour f 6 ~, alors la sB classe des fonctions de - ~ restreinte ~ B' (eompl~mentaire de A') ~B' exactement ~ n , tout simplement puisque IA,_A est B-n~gligeable. ) v E g, v alors vn est de Cauchy d~finie ~ une constante pros : = O . 2) D(f,f) > c II(~(x)_~(y))2 c D(f,f) > ~ IS AxA E(dx) ~(dy) (~(x)-~(y))2 %(dx) E(dy) " d'o3 et ainsi : 34 D(f,f) > c I A (f"(x)- IA ~" d,£ )2 £(dx). p. > o~ THf = HTf - u 6 I • On peut prolonger f sur A par ~ e L2 (A ) v f d£ = 0 tel que A v 8HKf soit Kf d~fini par ~ = .
S sur sur v~rifie f u2 • et est lin~aire. 4 : Principe PROPOSITION u e ~ de positivit~ = 0 u= = O N sur ~ O A donc u = O . : : ~Bu Soit Alors u 6 g tel que u > O . --~n ~ 0 et ~ L'unicit~ d~coule alors de : ~n : A A , ~l~ment de -~Bu -~= u = Ul+ u 2 Sf uI • ~ en que Notons o3 se prolonge f f u>O sur A. = f 36 • M o n t r o n s d ' a b o r d que : Avec les conventions u E ~, ~Bu >~ 0 = u >I 0 u + = Hu - + , u = Hu --- , Iu I = u + + u - , on salt que la c o n t r a c t i o n module op~re sur ( ~, D) - cf.