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On a : ϕ( f, f ) = ∀ x < −B, | f (x)| > A , En utilisant l’inégalité de Cauchy et Schwarz pour des intégrales, ∀ x ∈ ] − ∞ ; −B[, f (x) < −A ou f (x) > A . S’il existe (x1 ,x2 ) ∈ ] − ∞ ; −B[2 tel que f (x1 ) < −A et f (x2 ) > A, alors, comme f est continue sur ] − ∞ ; −B[ , d’après le théorème des valeurs intermédiaires, il existerait x3 ∈] − ∞ ; −b[ tel que f (x3 ) = 0, contradiction. On a donc : on a : 2 f (1) − f (0) 1 = 2 f 0 1 1 1 12 2 f 0 = 0 f 2. 0 d’où : ∀ x < −B, f (x) < −A ou ∀ x < −B, f (x) > A , lim f = −∞ ou et on conclut : −∞ lim f = −∞ ou +∞ lim f = +∞.

26 Exemple de calcul d’une intégrale 1 Calculer I = 0 √ √ 1+x − 1−x dx. 27 Étude d’une fonction définie par une intégrale avec le paramètre aux bornes x2 On considère l’application f : ]0 ; +∞[−→ R, x −→ f (x) = x ln(1 + t 2 ) dt. t Étudier f : définition, classe, dérivée, variations, étude en 0, étude en +∞, tracé de la courbe représentative. 1 . 28 Développement limité d’une intégrale dépendant d’un paramètre aux bornes x Former le développement limité à l’ordre 3 en 1 de f : x −→ 1 et dt. 29 Exemple de calcul de limite Trouver lim x−→0 1 1 .

1 f n (x) − f n (x) • On a donc, en remplaçant, dans l’hypothèse, f par son expression obtenue ci-dessus : cos 1 − n 1 Puisque f n est continue et strictement décroissante sur l’intervalle [0 ; 1] et que : f n (0) = 1 > 0 et f n (1) = cos 1 − n < 0 , |xn | = donc : = 2 x + g(y) + λ = 2x + 2g(y) + λ, ∀ y ∈ R, g(y) = On déduit : 5−λ 1 x + f (y) + 2 2 5−λ 1 5 1 = x+y+ . = (x + 2y + λ) + 2 2 2 2 ∀ (x,y) ∈ R2 , g x + f (y) = 1 −−−→ 0, n n∞ cos xn n 5−λ 1 y+ . 2 2 xn −−−→ 0 . 18 Puisque : xn −−−→ 0 et ∀ n ∈ N, xn ∈ ]0 ; +∞[ , 1 cos xn ∼ .