By Emanuela Rosazza Gianin, Carlo Sgarra
Questa ? una raccolta di esercizi che illustra alcuni aspetti fondamentali della Finanza Matematica, in particolare della valutazione dei derivati. E’ rivolta a studenti dei corsi di Laurea Magistrale, ma pu? essere utilizzata con successo anche nei corsi di Laurea del primo livello, da studenti che abbiano una adeguata formazione di tipo matematico (Corsi di Laurea in Matematica, Ingegneria). l. a. risoluzione degli esercizi viene affrontata con l’utilizzo di metodi propri sia della Teoria della Probabilit? (processi stocastici) che dell’Analisi Matematica (Equazioni alle Derivate Parziali).
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B) se lo strike aumentasse - e fosse pari a 20 euro? In caso affermativo, si calcoli il prezzo della Call europea di scadenza 6 mesi e di strike 20 euro. 75 (fattore di descrescita). 25 = S0 d2 − − − − −− T = 1 anno 34 3. Modello binomiale 1. Ricordando che un’opzione Call europea viene esercitata quando il prezzo del sottostante `e almeno pari allo strike dell’opzione, `e immediato calcolare la probabilit` a di esercizio delle due opzioni considerate. 5. 75. ` allora pi` E u probabile esercitare l’opzione di scadenza un anno di quella di scadenza 6 mesi.
Si consideri un’altra azione di prezzo corrente S02 = 10 euro e che tra un anno potr` a valere 20 euro (quando la prima vale 16), 8 euro (quando la prima vale 12) oppure 6 euro (quando la prima vale 2). Si consideri poi una nuova opzione di payoff φ = S˜T − E S 1 +S 2 + , S 1 −S 2 dove S˜T = T 2 T − T 4 T , T `e la data di scadenza (pari ad un anno) ed E `e lo strike che coincide con quello della Call del punto 1. ` possibile replicare l’opzione di cui sopra con le due azioni e con il E denaro depositato in banca (o preso in prestito)?
3 Il prezzo corrente di un’azione `e S0 = 40 euro. Sui prossimi due quadrimestri tale prezzo potr`a salire del 4% o scendere del 2%. Il tasso d’interesse risk-free `e del 4% annuo. Qual `e il prezzo di un’opzione di maturit` a T = 8 mesi e di payoff φ= (E − S0 ) ST − 10 2 + = ST − (E−S0 )2 ; 10 0; ST ≥ ST < (E−S0 )2 10 (E−S0 )2 10 quando lo strike E `e pari a 60 euro? 98 (fattore di descrescita). 45, qu = qd siccome r `e il tasso d’interesse annuo mentre a noi serve il tasso equivalente quadrimestrale.