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56-64. 38 Ph. Furtwängler. genügen. Es sind dann alle Koeffizienten b; durch p und bs = ± an mm1 destens durch p2 teilbar. Daher sind alle ~;i) (i ~. '. 1,2, ... , s) durch ps-l teilbar. D'1e Za hlen ~r-l "Iir (~~. ' 1,2, ... , s). mögen der GI' elC hung CS-I V -; Cs = genügen, in der alle Koeffizienten CL 0 durch p teilbar sein müssen; daher sind 1 alle $;~l durch pi teilbar. • <;r ~r-l' (S·lJ . -+.! l+.! Es müßte daher an-I durch p 8-1 8 = P 8, also auch durch p2 teIlbar sein, was gegen die Voraussetzung ist.

Allgemeines. § 1. Zur Trennung der komplexen Wurzeln einer algeb~aischen Gleichung kann man, wie wir zeigen wollen, in einfacher Weise die Argumente der Koeffizienten systematisch heranziehen. Als praktisch wichtigen Fall schließt dies ein, daß für Gleichungen mit reellen Koeffizienten bereits die Vorzeichen in gewissem Umfange Aussagen über die Verteilung der komplexen Wurzeln zu machen gestatten. aus die Halbstrahlen oder Vektoren 8 n . markiert. Der Vektor 8 0 soll J seine Richtung beibehalten; der Vektor 8 1 soll mit konstanter Winkelgeschwindigkeit sich im positiven Sinne drehen, während gleichzeitig der Vektor 8 j , i > 1, sich mit konstanter, i - facher, Winkelgeschwindigkeit im positiven Sinne dreht.

Satz 3. Sind in der ganzzahligen irreduziblen Gleichung x n a 1 x n- 1 -4-. a n- l x an = 0 alle Koeffizienten a i durch die Primzahl p teilbar und zwar an -l genau durch p, a" aber mindestens durch p2, so ist + ... + die Gleichung primitiv. Beweis. Soll die Gleichung imprimitiv sein, muß n= Zerlegung existieren: xn +a c'cc(X,+c(1)Xr-1+ r; 1 -- 1 . •• x n- 1 + ... + an -l x I '1+ •• ' (. ), ~j21, ... ' konjugierte ganze Zahlen in 8 konjugierten algebraischen Zahlkörpern sind. 1st ui eine Wurzel der gegebenen Gleichung, 1 so ist lti durch pn-l teilbar.