By Florian Modler
Dieses Buch soll Ihnen als Mathematik-Erstsemester den Einstieg und Umstieg von der Schulmathematik in die Hochschulmathematik erleichtern und Ihnen somit helfen, viele der üblichen Erstsemester-Fehler zu vermeiden.
Denn aller Anfang ist schwer und die Autoren wollen versuchen, Ihnen den Anfang so leicht wie möglich zu machen und Ihnen helfen, Schwierigkeiten zu überstehen, die im ersten Semester ganz general sind.
Das Buch ist anders als alle anderen, denn es wurde von Studenten geschrieben, die Erfahrung als instruct, Übungsleiter und Korrektoren haben. Dadurch wissen die Autoren zum einen, welche Themen schwer verständlich sind und besonders ausführlich behandelt werden müssen und zum anderen kennen sie häufige Fehler und können auf diese hinweisen. In dem Buch gibt es einen mathematischen Teil, den der pupil für Prüfungen beherrschen muss. Bei Fragen oder Problemen kann er dann in dem kommentierten Teil nachschauen und dort ausführliche Erklärungen, Hilfen und Beispiele der Autoren finden.
So verfügt der Leser über zweierlei: Einerseits über die mathematisch exakte Definition oder den mathematisch präzisen Satz und Beweis und anderseits über Hilfen und Anschauungen, die ebenso wichtig sind, um den Stoff zu verstehen.
Das Buch ist in der 2. Auflage vollständig durchgesehen und u.a. um ein „FAQ Mathe-Studium“ ergänzt; in der vorliegenden three. Auflage ist es an verschiedenen Stellen weiter ausgebaut worden.
Unter www.mathestudium-tutor.de können Sie Fragen zum Buch stellen.
Stimmen zur 1. Auflage:
„Es handelt sich additionally um ein sehr empfehlenswertes Buch für Einsteiger in das Studienfach Mathematik, welches sowohl umfangreich als auch verständlich gestaltet ist.“ Maik Messerschmidt auf www.uni-online.de
„Super für den Studienbeginn! Kann dieses Buch nur jedem empfehlen, der im ersten Semester eine Vorlesung in research oder Linearer Algebra hört! Habe schon einige Mathebücher durch und einige Sachen hatte ich trotzdem noch nicht richtig verstanden. Mit Hilfe dieses Buches jedoch wurden viele (komplizierte) Sachverhalte viel verständlicher.“ Kundenrezension auf www.amazon.de
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Beispiel 17 Sei g : R → R, g(x) := x 4 . Da wir in diesem Fall mit reellen Zahlen rechnen, haben alle negativen Zahlen kein Urbild, alle positiven jedoch haben eines, es gilt also im(g) = {x ∈ R : x ≥ 0}. Das Urbild eines Punktes y ∈ R, y ≥ 0, ist jede seiner reellen vierten Wurzeln (auf Wurzeln werden wir im Bereich Analysis (Kap. 7) noch einmal ausführlicher eingehen). Zum Beispiel gilt also f −1 (16) = {−2, 2}, da (−2)4 = 24 = 16. 38 3 Abbildungen und Relationen Abb. 1 Bild und Urbild einer Abbildung f : A →B a3 f (A ) ⊂ B a2 b a1 Beispiel 18 Sei h : R2 → C, h(x, y) := (x 2 + y 2 ) + i(x 2 + y 2 ).
Bei einer surjektiven Funktion wird jedes Element b ∈ B von der Abbildung mindestens einmal getroffen“, jedes Element hat also mindestens ein Urbild, es ” gilt also: f −1 (b) ≥ 1 ∀ b ∈ B, und das Bild von f ist ganz B, im( f ) = B. Bei einer bijektiven Funktion muss dies beides erfüllt sein, das heißt, dass wieder im( f ) = B gilt und außerdem f −1 (b) = 1 ∀ b ∈ B, das heißt, jedes b ∈ B hat genau ein Urbild, was wiederum bedeutet, dass für a, a˜ ∈ A gilt, dass f (a) = f (a), ˜ falls a = a. ˜ Sind A und B endliche Mengen, so kann deshalb f : A → B nur bijektiv sein, falls |A| = |B|.
Weiter wissen wir, dass (2, 3) ∈ R7 . Daher stehen 2 und 3 in Relation. Folglich müsste, wenn die Relation zum Beispiel transitiv sein soll, auch 1 und 3 in Relation stehen, also (1, 3) ∈ R7 gelten, was aber offenbar nicht der Fall ist. Daher ist die Relation nicht transitiv. Reflexivität und Symmetrie prüft man ähnlich. 8 von reflexiv, transitiv und symmetrisch Na gut, jetzt haben wir schon einmal Beispiele für Relationen gesehen. 8 werden einige Eigenschaften von Relationen definiert, und wir wollen einmal unsere oben beschriebenen Relationen auf diese Eigenschaften überprüfen.