By Benno Artmann (auth.)
Dies Skript enthält den criteria toff der Linearen Algebra, wie er in den ersten Semestern üblich ist. Es wurde in verschiedenen Formen zu Vorlesungen herausgegeben, die ich für Studenten der Mathematik, Physik und Informatik an der Technischen Hochschule Darmstadt gehalten habe. Ich habe mir Mühe gegeben, den textual content so einfach und leicht zugänglich wie möglich zu schreiben und jeweils typische Beispiele zu finden, um Sätze und Begriffe zu illustrieren. Die Lineare Algebra kann guy unter drei Aspekten sehen: geometrisch im Sinne der analytischen Geometrie, arithmetisch wie bei den Linearen Gleichungssystemen und vielen Teilen der Matrizenrechnung, die für die Numerik wichtig sind, und schließlich strukturbetont-abstrakt in der linearen und bilinearen Theorie der Vektorräume. Alle drei Aspekte soll ten in einer Einführung zur Geltung kommen, so auch in diesem Skript. Allerdings habe ich versucht, die begriffliche Behandlung eines Stoffes so weit wie möglich ans Ende der jeweiligen Paragraphen zu stellen, um vorher über Geometrie und Arithmetik eine verläßliche instinct für den Gegenstand aufzubauen. Diesem Zweck dienen besonders die einführenden 2 Abschnitte über die geometrischen Verhältnisse im E . Gerade hier hat der pupil, der ja die weitere Theorie noch nicht überblicken kann, die Gelegenheit, aus der anschaulichen Fundierung den Sinn und die Be deutung der Begriffe und Fragestellungen zu begreifen und damit von einer vernünftigen foundation aus weiterzuarbeiten.
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Sample text
A) Man zeige, daß das Produkt von z, w € S wieder zu S gehört. (b) Man zeige, daß mit z € S auch z-I zu S gehört. (c) Man weiß, daß 1 zu S gehört. Nun sind noch die drei Axiome (Ass), (Inv) , (Neutr) zu prüfen, deren Gültigkeit für die Multiplikation komplexer Zahlen aber schon bekannt ist. h. R - {a + bi I a, b ~ und a 2 € + b 2 = I} • (a) Zeigen Sie, daß auch Reine multiplikative Gruppe bildet. (b) Es seien a · ~ und n b = So nenner von a und b). h. n sei der Hauptp, q, n bilden ein sog. pythagoreisches Tripel.
A(z) und der Betrag Izl heißen die Polarkoordinaten von z ~ O. Für 0 sind keine Polarkoordinaten definiert. Mit dem zu a(z) gehörigen Bogen a. ist a(z) = cos a. + i sin a.. Winkel) als Polarkoordinate von z In vielen Texten wird (an Stelle von a(z» a. (Bogen, genommen. Für uns macht das keinen wesentlichen Unterschied. Wie man sofort ausrechnet, gilt a(zw) a(zw) .. = a(z) zw TzWf" • a(w): zw Iz I Iw I = a(z) a(w) • Hieraus erhält man die Multiplikationsformel zw .. a(z) a(w) Iz I Iwl • 42 Komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man die zugehörigen Bögen (Winkel) addiert und die zugehörigen Beträge multipliziert.
Funktionseigenschaften f : X ~ Y heißt Die Funktion injektiv, falls gilt: Yx l , x2 € X: wenn xI # x 2 ' so f(x l ) ~ f(x 2 ) , surjektiv, falls gilt: Vy € Y: Es gibt x € X mi t f(x) = Y• bijektiv, falls sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Äquivalente Formulierungen in anderen Worten: für injektiv: (i) verschiedene Argumente haben auch verschiedene Bilder (ii) wenn f(x l ) = f(x 2 ), so xI = x2 (durch Kontraposition) für surjektiv: (iii) jedes (iv) das Bild der Menge X ist ganz Y y (v) fX = Y € Y kommt als Funktionswert vor 28 Statt injektiv sagen manche Autoren auch 'eineindeutig' (engl.