By Harald Scheid, Wolfgang Schwarz
Das Buch richtet sich an Studierende der Mathematik in Lehramtsstudiengängen aller Schulstufen und in polyvalent angelegten Bachelor-Studiengängen. Es vermittelt die Grundlagen der Arithmetik, der elementaren Zahlentheorie und der Algebra sowie interessante Vertiefungen dieser Gebiete.
Die vorliegende 6. Auflage ist vollständig überarbeitet und in den einführenden Kapiteln zur Arithmetik und zur Algebra um eine Vielzahl von Kommentaren und Erläuterungen zu mathematischen Verfahrensweisen, Beweistechniken und Notationen ergänzt. Dadurch wird den Studienanfängern der Übergang zur Hochschulmathematik weiter erleichtert. Inhaltlich wurde das Thema vollständige Induktion neu aufgenommen, die Thematik der Kettenbruchdarstellungen wurde umfangreich ausgebaut.
In ca. four hundred Aufgaben kann der dargestellte Stoff eingeübt, vertieft und auch weitergeführt werden. Zu allen Aufgaben sind knappe Lösungswege oder Lösungshinweise angegeben.
Stimme zum Buch:
„Das Buch besticht durch eine Vielzahl an interessanten Übungsaufgaben (mit Lösungshilfen).“
Prof. Hans-Georg Weigand, Universität Würzburg<
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Example text
B) Aus ajc und bjc und ggT(a; b) = 1 folgt abjc. 32 Beweise: Ist ggT(a1 ; a2 ; : : : ; an / D d, dann ist ggT an a1 a2 d ; d ;:::; d D 1. a; b// für alle a; b 2 N. 34 Zeige: Ist ggT(a; b; c) = 1 und ggT(a; b/ D d, ggT(a; c/ D e, dann ist ggT(a; bc/ D de. 35 Es seien a; b teilerfremde natürliche Zahlen. Beweise: (a) Die Teilermenge von ab besteht aus allen Produkten uv mit uja und vjb. (b) ggT(a C b; a b/ 2 f1; 2g und ggT(a C b; a2 ab C b2 / 2 f1; 3g. 1; 2n C 1/ D 1 für alle n 2 N, falls m ungerade ist.
Diesen Begiff werden wir bei der Untersuchung von periodischen Dezimalbruchentwicklungen in Abschn. 7 benötigen. m/. m/ D vk C r mit 0 Ä r < k (Division mit Rest). ak /v ar Á 1v ar Á ar mod m; also wegen r < k notwendigerweise r D 0. 17 (1) Es soll ord10 (7) berechnet werden. 10/ D 4 kommen dafür nur die Teiler von 4 infrage. Es ist 72 Á 9 mod 10 und 74 Á 1 mod 10; also ord10 (7) = 4. (2) Es soll ord17(10) bestimmt werden. 17/ D 16 : 102 104 108 1016 Á Á. Á Á. 15 2/2 42 1/2 Á Á Á Á 2 mod 17 ; 4 mod 17 ; 1 mod 17 ; 1 mod 17 : Es ergibt sich ord17 (10) = 16.
B) Bestimme die kanonische Primfaktorzerlegung von 20!. nŠ/2 C i für kein i mit 2 Ä i Ä n Potenz einer Primzahl ist. n/ D 8. 55 (a) Bestimme alle Vielfachen von 30 mit genau 30 Teilern. (b) Bestimme alle Vielfachen von 12 mit genau zwei verschiedenen Primteilern und genau 14 Teilern. a2 / D 81. a3 /. a/. n/ das Produkt aller Teiler von n. (b) Bestimme alle n 2 N, die durch das Produkt ihrer echten Teiler teilbar sind. 58 Beweise: Ist ggT(a; b) = 1 und ist a2 b2 ein Quadrat, dann sind a C b und a beides Quadrate oder beides das Doppelte von Quadraten.