By Ferdinando Arzarello, Cristiano Dané, Laura Lovera, Miranda Mosca, Nicoletta Nolli, Antonella Ronco
Il testo confronta con los angeles usuale geometria del piano (euclidea) vari tipi di geometrie che si hanno su superfici be aware e meno be aware: geometria sulla sfera, sul cilindro, sul cono e sulla pseudosfera. L'idea di fondo è di giungere alla descrizione "intrinseca" di queste geometrie analizzando che cosa significa l'andare diritto su queste superficie (cioè l'idea di geodetica). Si giunge così a vari tipi di geometrie che si discostano da quella euclidea usuale: geometrie localmente euclidee (su cilindro e cono deprivato del vertice), geometria ellittica (sulla sfera), geometria iperbolica (sulla pseudosfera). Si scopre che los angeles chiave di volta concettuale che distingue queste various geometrie è l. a. nozione di curvatura gaussiana, rispettivamente nulla su piani, cilindri, coni; (costante) positiva sulla sfera e (costante) negativa sulla pseudosfera. In relazione a queste idee matematiche si sviluppano anche vari temi interdisciplinari: si studiano advert esempio le caratteristiche delle carte geografiche che rappresentano los angeles Terra a partire dal problema di determinare l. a. rotta migliore tra due localit� (porti, aereoporti); si indaga sulla curvatura del nostro universo; si descrivono le leggi geometriche su cui si basa los angeles tecnologia dei GPS. Non si trascurano gli aspetti fondazionali, analizzando quali assiomi della Geometria Euclidea valgano o meno e perché nelle nuove geometrie.
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Sample text
3○ gruppo: assiomi di congruenza < se A e B sono due punti, dato un qualunque punto A′ , si pu`o trovare un punto B′ tale che il segmento A′ B′ sia congruente al segmento AB; < la relazione di congruenza tra segmenti e` transitiva; < dati nell’ordine i punti A, B, C e i punti A′ , B′ , C ′ tali che AB e` congruente a A′ B′ e BC e` congruente a B′ C ′ allora AC e` congruente a A′ C ′ ; ̂ e una semiretta A′ B′ , di origine A′ , si pu`o sempre trovare un < dato l’angolo B AC ′ ̂′ C ′ e` congruente a B AC; ̂ punto C tale che B′ A < se due triangoli ABC e A′ B′ C ′ hanno congruenti due lati e l’angolo compreso, essi hanno congruenti anche un secondo angolo.
2○ gruppo: assiomi di ordinamento < se il punto B sta tra i punti A e C, allora A, B e C sono tre punti distinti di una stessa retta e B sta anche tra C e A; < se A e B sono due punti distinti di una retta, su questa retta vi e` almeno un punto C tale che B sta tra A e C; < dati tre punti distinti qualsiasi di una retta, ve ne e` uno solo che sta tra gli altri due; < se una retta interseca uno dei tre lati di un triangolo (in un punto diverso dal vertice), essa interseca anche un altro lato del triangolo.
Gli angoli, per Euclide, sono minori di un angolo piatto: nella sua trattazione non utilizza mai tale termine, bens`ı quello di “due angoli retti adiacenti”. Sulla sfera, localmente, l’angolo, delimitato da due tratti di geodetiche passanti per un punto, racchiude, come nel piano, una parte di superficie. E come nel piano e` possibile variarne l’ampiezza, con una rotazione tra i lati, fino al valore equivalente all’angolo giro. 5 Due ‘‘rette’’ determinano quattro lunule o biangoli Capitolo 3 ● Euclide, Hilbert e la geometria sulla sfera 39 accorge che sulla sfera un angolo determina sempre una parte di superficie limitata.