By D.C. Goldrei
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From the reports of the 1st printing of this e-book, released as quantity fifty eight of the Encyclopaedia of Mathematical Sciences:". .. This publication might be very necessary as a reference and consultant to researchers and graduate scholars in algebra and and topology. " Acta Scientiarum Mathematicarum, Ungarn, 1994 ". .
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Example text
1st s 2. Ordnung wenn "$ T T T Symmetriepunkt der Kurve, so liegt mit dem Vektor s gespiegelte Vektor 2"$ - x xauch der an auf der Kurve. Das LGS Ms =-m besitzt genau einen Punkt (den Mittelpunkt der Kurve) als Losung, wenn 1M! * 0 ist. Kurven ohne Symmetriepunkt sind beispielsweise Parabeln; sie sind nicht punkt-, sondem achsensymmetrisch. Ellipsen und Hyperbeln haben genau einen Symmetriepunkt, wahrend parallele Geraden unendlich viele Symmetriepunkte besitzen. Kurven mit Symmetriepunkt heiBen Mittelpunkts- kurven, Kurven ohne Symmetriepunkt heiBen parabolische Kurven.
Basislosungen der LGS sind 2 (D und (-D. Wir normieren diese orthogonalen e ,,Eigenvektoren" und erhalten so eine Orthonormalbasis l und e2 • Wir untersuchen nun den Vorgang der Hauptachsentransformation niiher. Dazu bezeichnen wir die Matrix der Koordinatentransformation mit T. Die Spalten von T sind die Eigenvektoren e,. Die Hauptachsentransformation entspricht der Matrizenmultiplikation TTAT. Da 1 Beziehungsnetze, fundamentale Ideen und historische Entwicklung Ae, = A"e gilt, AT = sind die Spalten von AT jeweils das AI-fache der Spalten ~(~: -A~2).
Teil in Abs. 1 . (Hinweis: Al und ~ seien Eigenwerte mit AI A2' * Zeigen Sie, daB A)e) ' e2 ;:;(A)e)Te2 =e; (A 2 e2 )= A2 e) ·e2 ist. 4) Zeigen Sie, daB die zweireihige symmetrische Matrix M '#rE zwei verschiedene Eigenwerte hat. (Bezug Beispiel 3 in Abs. ) 5) Vervollstandigen Sie den Beweis fur n;:; 3 aus Beispiel 3. 6) Beweisen Sie die folgenden elementargeometrischen Satze vektoriel1: (a) Die Seitenmittelpunkte eines Vierecks bilden ein Parallelogramm. (b) Verbindet man die Mittelpunkte zweier Dreiecksseiten, so erhalt man eine Strecke, die parallel zur dritten Seite und halb so lang ist.