By Mary Jane Sterling
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Algebra VII: Combinatorial Group Theory Applications to Geometry
From the studies of the 1st printing of this publication, released as quantity fifty eight of the Encyclopaedia of Mathematical Sciences:". .. This booklet may be very beneficial as a reference and consultant to researchers and graduate scholars in algebra and and topology. " Acta Scientiarum Mathematicarum, Ungarn, 1994 ". .
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B) Aus ajc und bjc und ggT(a; b) = 1 folgt abjc. 32 Beweise: Ist ggT(a1 ; a2 ; : : : ; an / D d, dann ist ggT an a1 a2 d ; d ;:::; d D 1. a; b// für alle a; b 2 N. 34 Zeige: Ist ggT(a; b; c) = 1 und ggT(a; b/ D d, ggT(a; c/ D e, dann ist ggT(a; bc/ D de. 35 Es seien a; b teilerfremde natürliche Zahlen. Beweise: (a) Die Teilermenge von ab besteht aus allen Produkten uv mit uja und vjb. (b) ggT(a C b; a b/ 2 f1; 2g und ggT(a C b; a2 ab C b2 / 2 f1; 3g. 1; 2n C 1/ D 1 für alle n 2 N, falls m ungerade ist.
Diesen Begiff werden wir bei der Untersuchung von periodischen Dezimalbruchentwicklungen in Abschn. 7 benötigen. m/. m/ D vk C r mit 0 Ä r < k (Division mit Rest). ak /v ar Á 1v ar Á ar mod m; also wegen r < k notwendigerweise r D 0. 17 (1) Es soll ord10 (7) berechnet werden. 10/ D 4 kommen dafür nur die Teiler von 4 infrage. Es ist 72 Á 9 mod 10 und 74 Á 1 mod 10; also ord10 (7) = 4. (2) Es soll ord17(10) bestimmt werden. 17/ D 16 : 102 104 108 1016 Á Á. Á Á. 15 2/2 42 1/2 Á Á Á Á 2 mod 17 ; 4 mod 17 ; 1 mod 17 ; 1 mod 17 : Es ergibt sich ord17 (10) = 16.
B) Bestimme die kanonische Primfaktorzerlegung von 20!. nŠ/2 C i für kein i mit 2 Ä i Ä n Potenz einer Primzahl ist. n/ D 8. 55 (a) Bestimme alle Vielfachen von 30 mit genau 30 Teilern. (b) Bestimme alle Vielfachen von 12 mit genau zwei verschiedenen Primteilern und genau 14 Teilern. a2 / D 81. a3 /. a/. n/ das Produkt aller Teiler von n. (b) Bestimme alle n 2 N, die durch das Produkt ihrer echten Teiler teilbar sind. 58 Beweise: Ist ggT(a; b) = 1 und ist a2 b2 ein Quadrat, dann sind a C b und a beides Quadrate oder beides das Doppelte von Quadraten.