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T m−1 g sind linear abh¨angig. iii) Es existieren p, q ∈ K [t], p, q = 0, mit deg p p f = qg. n − 1, deg q m − 1 und Mit etwas Teilbarkeitstheorie von Polynomen kann man zeigen, dass i) bis iii) a¨ quivalent sind zu iv) f und g haben einen gemeinsamen nichtkonstanten Teiler h ∈ K [t]. Insbesondere ist also Res f,g = 0, falls f und g eine gemeinsame Nullstelle haben, und im Fall K = C gilt: Res f,g = 0 ⇔ f und g haben eine gemeinsame Nullstelle. Erg¨anzungsaufgaben E1. Eine Nullstelle λ ∈ K eines Polynoms f ∈ K [t] 0 heißt mehrfache Nullstelle, wenn die Vielfachheit der Nullstelle (vgl.

Dann ist n = 1. Man nennt n einen Normalenvektor zu L; nach d) gilt f¨ur beliebiges v ∈ L, dass L = {x ∈ R2 : n, x − v = 0} . F¨ur jedes u ∈ R2 gilt dann d(u, L) = | n, u − v |, die Funktion n, u − v misst also mit Vorzeichen den Abstand von u zu L. 1 Das kanonische Skalarprodukt im Rn 49 5. Aufgabe 4 l¨asst sich leicht verallgemeinern, um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Hyperebene im Rn zu bestimmen; eine Teilmenge H des Rn heißt dabei Hyperebene, falls H ein affiner Unterraum der Dimension (n − 1) ist, d.

4 ⎞ 1 .. ⎟ . ⎟ ⎟ ∈ M(n × n; K ) . 1 ⎠ 0 Determinante eines Endomorphismus und Orientierung∗ 1. Sei V ein K -Vektorraum, X die Menge aller Basen von V und B ∈ X . Zeigen Sie, dass die Abbildung : X → GL(n; K ) , A → TAB = MB A (id) bijektiv ist. 3 definierten kanonischen Bijektion M : X → GL(n; R) zusammen? ¨ 2. Beweisen Sie, dass die Verbindbarkeit von Matrizen in GL(n; R) eine Aquivalenzrelation in GL(n; R) definiert. 38 3 Determinanten 3. Zeigen Sie, dass man eine invertierbare Matrix A ∈ GL(n; K ) durch Spaltenumformungen vom Typ III auf Diagonalgestalt bringen kann.