# Übungsbuch zur Linearen Algebra: Aufgaben und Lösungen by Hannes Stoppel, Birgit Griese

By Hannes Stoppel, Birgit Griese

Dieses Buch ist als Ergänzung zu dem Buch Lineare Algebra von Gerd Fischer gedacht. Die Lösungen zu den einzelnen Aufgaben, die aus dem Lehrbuch stammen, sind sehr ausführlich dargestellt.
Das Buch unterstützt Studierende der Mathematik, Physik oder verwandter Wissenschaften bei der Vor- und Nachbereitung von Vorlesungen und Prüfungen zur Linearen Algebra. Durch seine reichhaltige Zusammenstellung von Aufgaben und (kommentierten) Lösungen stellt es auch eine unentbehrliche Fundgrube für Lehrende dar, sei es an der Schule oder Hochschule.

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T m−1 g sind linear abh¨angig. iii) Es existieren p, q ∈ K [t], p, q = 0, mit deg p p f = qg. n − 1, deg q m − 1 und Mit etwas Teilbarkeitstheorie von Polynomen kann man zeigen, dass i) bis iii) a¨ quivalent sind zu iv) f und g haben einen gemeinsamen nichtkonstanten Teiler h ∈ K [t]. Insbesondere ist also Res f,g = 0, falls f und g eine gemeinsame Nullstelle haben, und im Fall K = C gilt: Res f,g = 0 ⇔ f und g haben eine gemeinsame Nullstelle. Erg¨anzungsaufgaben E1. Eine Nullstelle λ ∈ K eines Polynoms f ∈ K [t] 0 heißt mehrfache Nullstelle, wenn die Vielfachheit der Nullstelle (vgl.

Dann ist n = 1. Man nennt n einen Normalenvektor zu L; nach d) gilt f¨ur beliebiges v ∈ L, dass L = {x ∈ R2 : n, x − v = 0} . F¨ur jedes u ∈ R2 gilt dann d(u, L) = | n, u − v |, die Funktion n, u − v misst also mit Vorzeichen den Abstand von u zu L. 1 Das kanonische Skalarprodukt im Rn 49 5. Aufgabe 4 l¨asst sich leicht verallgemeinern, um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Hyperebene im Rn zu bestimmen; eine Teilmenge H des Rn heißt dabei Hyperebene, falls H ein afﬁner Unterraum der Dimension (n − 1) ist, d.

4 ⎞ 1 .. ⎟ . ⎟ ⎟ ∈ M(n × n; K ) . 1 ⎠ 0 Determinante eines Endomorphismus und Orientierung∗ 1. Sei V ein K -Vektorraum, X die Menge aller Basen von V und B ∈ X . Zeigen Sie, dass die Abbildung : X → GL(n; K ) , A → TAB = MB A (id) bijektiv ist. 3 deﬁnierten kanonischen Bijektion M : X → GL(n; R) zusammen? ¨ 2. Beweisen Sie, dass die Verbindbarkeit von Matrizen in GL(n; R) eine Aquivalenzrelation in GL(n; R) deﬁniert. 38 3 Determinanten 3. Zeigen Sie, dass man eine invertierbare Matrix A ∈ GL(n; K ) durch Spaltenumformungen vom Typ III auf Diagonalgestalt bringen kann.