By Klaus Lamotke (auth.)
Das vorliegende Buch beruht auf Vorlesungen und Seminaren fur Studenten mittlerer und hoherer Semester im Anschlu? an eine Einfuhrung in die komplexe Funktionentheorie. Die Theorie Riemannscher Flachen wird als ein Mikrokosmos der Reinen Mathematik dargestellt, in dem Methoden der Topologie und Geometrie, der komplexen und reellen research sowie der Algebra zusammenwirken, um die reichhaltige Struktur dieser Flachen aufzuklaren und an vielen Beispielen und Bildern zu erlautern, die in der historischen Entwicklung eine Rolle spielten. Wegen seiner Methodenvielfalt enthalt das Buch gleichzeitig Einfuhrungen in die Topologie (Fundamentalgruppe, Uberlagerungen, Flachen), in die algebraische Geometrie (Kurven und ihre Singularitaten) und in die Potentialtheorie (Perron-Prinzip).
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Aber in vielen F¨ allen sind solche Funktionen explizit bekannt. 1 Der Ring der meromorphen Funktionen. Wenn X zusammenh¨ angt, ist der Ring M(X) aller meromorphen Funktionen einen K¨ orper. Beweis. Jede Funktion f = 0 hat nach dem Identit¨ atssatz eine lokal endliche Nullstellenmenge. 4 geh¨ort dann 1/f zu M(X) . Fortsetzungssatz. Eine Funktion f ∈ M(X \ {a}) l¨ aßt sich genau dann meromorph nach a fortsetzen, wenn es eine bei a holomorphe Funktion v = 0 gibt, so daß vf um a beschr¨ ankt ist. Beweis.
Bei kompakten Fl¨ achen ist Tr(D) endlich. Man nennt dann (1) D(x) gr D := x∈X den Grad des Divisors. Zu jeder meromorphen Funktion f , die nirgends konstant Null ist, geh¨ ort der Hauptdivisor (f ) mit (2) (f ) : X → Z , x → o(f, x) . F¨ ur ihn gilt (3) (f · g) = (f ) + (g) und (1/f ) = −(f ) . (4) Wenn X kompakt ist, hat jeder Hauptdivisor den Grad Null. Wenn X außerdem zusammenh¨ angt, folgt aus (f ) = (g) , daß g = cf mit c ∈ C× gilt. Beweis. 2(4), die zweite folgt, weil f /g keine Null-und Polstellen hat und daher konstant ist.
3 zu Integralrelationen f¨ ur beliebige kompakte Fl¨ achen verallgemeinert. Um jede Vorgabe von Null- und Polstellen, welche die Relation (1) erf¨ ullt, durch eine Funktion f ∈ M(T ) zu realisieren, benutzen wir folgende SigmaFunktion. 3 Die σ-Funktion zum Gitter Ω wird durch ein unendliches Produkt u ¨ber alle ω ∈ Ω \{0} definiert: (1) (2) σ(z) := z (1 − z/ω) exp z/ω + 12 (z/ω)2 = z E(z) := (1 − z)exp (z + z 2 /2) . E(z/ω) mit Satz. Das Produkt konvergiert auf C normal gegen eine ganze Funktion.