# Prüfungstrainer Lineare Algebra: 500 Fragen und Antworten by Rolf Busam

By Rolf Busam

Dieser „Pr?fungstrainer" wendet sich an Studierende mit Mathematik als Haupt- oder Nebenfach, die – insbesondere bei der Pr?fungs- oder Klausurvorbereitung – den Wunsch versp?ren, als Erg?nzung zu den Lehrb?chern den Grundstudiums-Stoff der Linearen Algebra noch einmal in pointierter shape vorliegen zu haben, zugespitzt auf dasjenige, was once guy wirklich wissen und beherrschen sollte, um eine Pr?fung erfolgreich zu bestehen und exakte Antworten auf m?gliche Fragen formulieren zu k?nnen.

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Ein weiteres Beispiel ist der algebraische Abschluss F2 von F2 . Zur Deﬁnition des algebraischen Abschlusses vergleiche [5]. Frage 62 zahl? Warum ist die Charakteristik eines endlichen K¨ orpers stets eine Prim- Antwort: Sei char(K) = n = pq eine zusammengesetzte Zahl mit 1 < p, q < n. Deﬁnitionsgem¨aß ist dann n die kleinste nat¨ urliche Zahl mit n1K = 0. Aufgrund des Distributivgesetzes gilt (p1K ) · (q1K ) = (1K + · · · + 1K ) · (1K + · · · + 1K ) = (pq)1K = n1K = 0 p-mal q-mal Nach Voraussetzung ist q1K = 0, also existiert ein Inverses (q1K )−1 , und es folgt p1K = (p1K ) · (q1K ) · (q1K )−1 = 0 · (q1K )−1 = 0, im Widerspruch zur Voraussetzung.

Da p irreduzibel ist, ist entweder s oder c eine Einheit in R. Im ersten Fall folgt c = s−1 p und damit a = rs−1 p, im Widerspruch zur Voraussetzung, dass p kein Teiler von a ist. Also bleibt nur die M¨ oglichkeit, dass c eine Einheit in R ist. Dies impliziert (c) = (a) + (p) = R, insbesondere gibt es e, f ∈ R mit ea + f p = 1. Multiplikation dieser Gleichung mit b liefert eab + f pb = b. Wegen p|ab folgt aus dieser Gleichung wie gew¨ unscht p|b. Frage 86 K¨ onnen Sie zeigen, dass sich in einem Hauptidealring R jedes Element a = 0, welches keine Einheit ist, als endliches Produkt von Primelementen schreiben l¨asst?

4]). (iv) Die komplexen Zahlen C := {a + bi ; a, b ∈ R} sind insbesondere ein R-Vektorraum. (v) Jeder K¨ orper K besitzt die Struktur eines K-Vektorraums, indem man die Multiplikation als skalare Multiplikation deutet. Frage 96 Was versteht man unter einem Unterraum eines K-Vektorraums V ? Antwort: Eine nichtleere Teilmenge U ⊂ V heißt Untervektorraum oder linearer Unterraum oder kurz Unterraum von V , wenn U zusammen mit der in V gegebenen Vektoraddition und skalaren Multiplikation ebenfalls einen Vektorraum bildet.