By Boto von Querenburg
Eine verständliche und vollständige Einführung in die Mengentheoretische Topologie, die als Begleittext zu einer Vorlesung, aber auch zum Selbststudium für Studenten ab dem three. Semester bestens geeignet ist. Zahlreiche Aufgaben ermöglichen ein systematisches Erlernen des Stoffes, wobei Lösungshinweise bzw. Musterlösungen zu ausgewählten Aufgaben bereitgestellt werden.
In den ersten 10 Kapiteln werden die wichtigen Begriffe und Ergebnisse der Mengentheoretischen Topologie abgehandelt. Daran schließt sich die Untersuchung uniformer Strukturen in Kapitel 11-12 an. Zur Vertiefung werden Funktionenräume, Vervollständigungen und Kompaktifizierungen in Kapitel 13-15 behandelt. Für die Neuauflage wurden fünf zusätzliche Kapitel über topologische Strukturen in topologischen Gruppen sowie ein Abschnitt über die historischen Entwicklungen der Mengentheoretischen Topologie und der topologischen Gruppen zugefügt.
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10 zeigen. Es liegt nahe, von einem durch die Inklus ion gerichteten Teilmengensystem 1 giert, wenn " sc hlieBlich" alle Mengen aus zu sagen, '1 in da~ es gegen x konver- einer vorgegebenen Umgebung U E ll(x) liegen. Eine genaue Fassung dieses Ansatzes flihrt zu dem Begriff des Filters, auf dem nun die Konvergenztheorie aufgebaut wird.
0 ll(x) hat folgende Eigenschaften: 11 (x) ~ U' E 'U (x) (a) U C U' und U E (b) U1 " " ,Un E ~ ll(x) UE ll(x) ~ (d) U E (l(x) ~ (c) (x) mit U c Au. i=1 1 X E U E 'U(x) vY E 11 (x) : 3VE V ist U E l1(y). Beweis fUr (d). 14(b). 16 Satz. 15(a)-(d) zugeordnet, so gibt es genau eine Topologie auf X, fUr die Beweis. lJ 1 , CJ2 Eindeutigkeit. Seien und 0 E lL(x) das Umgebungssystem von x ist. 14(a): 0 E Existenz. 15(a) und (b) von V x E O}. Unter Anwendung der 'U(x) la~t sich leicht zeigen, da~ eine Topologie auf X ist.
G-l(S)= g-1(f i - (0)): (f i o g)-l(O) ist offen, denn f. g ist l 0 stetig. 34 folgt nun, daR> g stetig ist. 0 FUr den speziellen Fall, daR> man nach der grobsten Topologie auf einer Menge E fragt, fUr die eine vorgegebene Abbildung f von E in einen topologischen Raum X stetig ist, erhalt man: Die offenen Mengen dieser Topologie sind die Urbilder der offenen Mengen von X. Man nennt deshalb diese Topologie das reziproke Bild der Topologie von X bezUglich f. Offenbar verhalt sich der Begriff der Initialtopologie transitiv.