By Joachim Hilgert
Dieses Buch richtet sich an Studierende der Mathematik, die die Anfängervorlesungen in research und Linearer Algebra gemeistert haben. Es ist gedacht als Orientierungshilfe für die Vielzahl an spezialisierten Fachveranstaltungen in den mittleren und höheren Semestern. Ein wichtiges Anliegen ist die Darstellung von Vergleichsmöglichkeiten und Ähnlichkeiten zwischen mathematischen Disziplinen. Das organisierende Prinzip ist der Begriff der mathematischen Struktur, der sich durch alle Teilgebiete der Mathematik zieht.
Die Inhalte, an denen die verschiedenen Typen von Strukturen exemplarisch erläutert werden, decken curriculare Anforderungen insbesondere aus der Algebra und der Geometrie (differentiell und algebraisch) ab. Die Diskussion von Vergleichsmöglichkeiten enthält aber auch Einführungen in die Kategorientheorie und die Garbentheorie, deren Bedeutung in der modernen Mathematik eine stärkere Verankerung in den Curricula nahelegt.
Das Buch eignet sich insbesondere auch zum Nachschlagen der dargestellten Strukturen.
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From the stories of the 1st printing of this booklet, released as quantity fifty eight of the Encyclopaedia of Mathematical Sciences:". .. This ebook might be very valuable as a reference and advisor to researchers and graduate scholars in algebra and and topology. " Acta Scientiarum Mathematicarum, Ungarn, 1994 ". .
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27 eine weitere Summenzerlegung, sodass wir annehmen dürfen: V Š KŒX=q k KŒX mit q 2 KŒX prim. Da wir K algebraisch abgeschlossen angenommen haben, ist q D X mit 2 K. 32 folgt dann die Behauptung. V / eine Basis gefunden werden kann, bezüglich der die darstellende Matrix in Jordan-Normalform ist, d. h. 32 haben. V / eine Basis für V , bezüglich der die darstellende Matrix von ' in Jordan-Normalform ist. 32. Die obigen Überlegungen liefern noch mehr nützliche Resultate über die Natur von linearen Abbildungen.
Wenn 0 M D ` M R=sj R j D1 eine weitere Summenzerlegung der geforderten Art ist, dann teilt also p mindestens ` der Elemente s1 ; : : : ; s`0 . Insbesondere gilt ` Ä `0 . Aus Symmetriegründen folgt damit ` D `0 , und p teilt alle sj . 24 sieht man, dass pM Š ` M j D1 R=xj R Š ` M R=yj R j D1 mit pxj D rj und pyj D sj gilt. Jetzt wiederholt man das bisherige Verfahren für pM statt M (dabei werden allerdings keine freien R-Summanden mehr auftauchen), d. , man kürzt ein gemeinsames Primelement aller Summanden.
In diesem Fall möchte man die Inklusionsabbildung ÃW M ! N als Homomorphismus haben. Das funktioniert nur, wenn 8m1 ; m2 2 M; r1 ; r2 2 RW r1 m1 C r2 m2 2 N gilt. In diesem Fall nennt man M einen Untermodul von N . 3 (Untermoduln) Sei R ein Ring, N ein Links-R-Modul und M Â N eine Teilmenge. Man zeige, dass M genau dann ein Untermodul von N ist, wenn M M Â M und RM Â M gilt. Man hätte analog zur eben vorgestellten Begriffsbildung des Untermoduls in Kap. 1 auch den Begriff des Unterringes bilden können.