Mathematik und Plausibles Schliessen: Band 1. Induktion und by Georg Polya (auth.)

By Georg Polya (auth.)

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X+2n x+n x x-n x-2n 38. Man leite aus E ab, daB cot x = -x1 - -n2X( 1+ 2 2x3 -1 + -1 + - 1 + - 1 + ... ) 4 9 16 25 ( 1 1 1 1 ---;4 1 + 16 + 81 + 256 + 625 + ... ) 5 -2x - ( 1 +1- + 1- + .. · ) n6 64 729 ist, und bestimme die Summen der auf der rechten Seite ala Koeffizienten auftretenden unendlichen Reihen. 39. Man leite aus E ab, daB 3 +32x -4- ( 1 +1- + 1- + .. ·) n 81 625 + ... 63 Verallgemeinerung, Spezialisierung, Analogie ist, und bestimme die Summen der im letzten Ausdruck als Koeffizienten auftretenden unendlichen Reihen.

In wissenschaftlicher Arbeit wie im taglichen Leben glauben wir mehr oder weniger stark an eine Vermutung (oder sollten wir so glauben), je nachdem ihre beobachtbaren Konsequenzen mehr oder weniger mit den Tatsachen iibereinstimmen. Kurzum, Euler scheint so zu denken wie verniinftige Leute, ob Wissenschaftler oder Nichtwissenschaftler, zu denken pflegen. Er scheint gewisse Prinzipien zu akzeptieren: Eine Vermutung wird durch die Veri{izierung jeder neuen Konsequenz glaubhafter. Und: Eine Ver· mutung wird glaubwurdiger, wenn eine analoge Vermutung glaubwilrdiger wird.

Siehe L. EULER, Opera Omnia, Ser. 1, Bd. 14, S. 73-86, 138-155,177-186 und auch S. 156-176, wo sich eine Abhandlung von PAUL STAECKEL iiber die Geschichte des Problems findet. Verallgemeinerung, Spezialisierung, Analogie 47 (2) Die im Vorstehenden zusammengefaBten Griinde fUr EULERS Vertrauen zu seiner Entdeckung 3 ) sind nicht demonstrativ. EULER untersucht nicht nachtraglich noch einmal die Grundlage seiner Ver· mutung 4 ), seines gewagten trbergangs yom Endlichen zum Unend· lichen; er untersucht nur die Konsequenzen dieser Vermutung.

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