By Albrecht Beutelspacher
Inhalt
Was wir wissen m?ssen, bevor wir anfangen k?nnen - K?rper - Vektorr?ume - Anwendungen von Vektorr?umen - Lineare Abbildungen - Polynomringe - Determinanten - Diagonalisierbarkeit - Elementarste Gruppentheorie - Skalarprodukte.
Zielgruppe
Erstsemester der F?cher Mathematik, Informatik und Physik
?ber den Autor/Hrsg
Prof. Dr. Albrecht Beutelspacher lehrt und forscht am Mathematischen Institut der Universit?t Gie?en ?ber Geometrie und Diskrete Mathematik.
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Example text
Multiplizieren Sie jeden Punkt mit i. (Das heiBt: Bilden Sie die Punkte A* =(a+ia')i, B* = , ... ) Beschreiben Sie die geometrische Operation, die das Ausgangsdreieck vollzogen hat. S Welchen Effekt beobachten Sie, wenn Sie die Punkte A, B, C mit der komplexen Zahl z = cos 45° + i·sin 45° multiplizieren. 6 Zeigen Sie: Die Multiplikation mit der komplexen Zahl z = cos
1st n eine zusammengesetzte ganze Zahl, also n = ab mit a> lund b > 1, so ist Zn hestimmt kein Korper. Dies ergibt sich ohne groBe Schwierigkeiten: 1st n = a·b mit a> 1 und b> 1, so sind a und b Elemente von Zn mit a 'n b = (a·b) mod n = O. 36 2 Kiirper Dies ist aber in einem Korper unmoglich, da das Produkt je zweier von Null verschiedener Elemente ein von Null verschiedenes Element ergibt (Nullteilerfreiheit). D Damit konnen hochstens die Strukturen Zn Korper sein, fiir die n eine Prirnzahl ist.
Starrheit von Q. Der Korper der rationalen Zahlen besitzt nur den trivialen Automorphismus. Dazu iiberlegen wir uns zunachst zwei ganz einfache Hilfstatsachen, niimlich die Invarianz der neutraIen Elemente und die Invarianz der negativen Elemente ("Invarianz" bedeutet Unveranderlichkeit). Invarianz der neutralen Elemente. Jeder Automorphismus f eines beliebigen Korpers K fiihrt das Nullelement 0 und Einselement I in sich iiber. ) Zum Beweis schreiben wir 0=0+0 (dies folgt aus a = a+O fiir aIle a E K).