By Professor Dr. Siegfried Bosch (auth.)
Die Theorie der Linearen Algebra, urspr?nglich aus der analytischen Geometrie hervorgegangen, hat heute die engen Grenzen geometrischer Problemstellungen weit ?berschritten und ist f?r nahezu alle Gebiete der Mathematik von grundlegender Bedeutung.
Dieses Lehrbuch bietet eine systematische Einf?hrung in die Lineare Algebra und entspricht in seinem stofflichen Umfang einer zweisemestrigen Anf?ngervorlesung, so wie sie an vielen Universit?ten als Einf?hrungsveranstaltung f?r Studierende mit Haupt- oder Nebenfach Mathematik sowie Studienziel Diplom oder Staatsexamen gehalten wird. Im textual content wird besonderer Wert auf eine sorgf?ltige Entwicklung der in der Linearen Algebra gebr?uchlichen Begriffsbildungen gelegt, wobei jedes Kapitel mit einer Darlegung der zugeh?rigen motivierenden geometrischen Ideen beginnt. Umfangreiches und direkt auf die einzelnen Themen bezogenes ?bungsmaterial rundet die Darstellung ab.
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Wir wollen hier nur zeigen, daB jeder lineare Unterraum U C V die in Bemerkung 3 genannten Bedingungen erfiillt. Sei also U c V wie in Definition 2. Zunăchst besagen die Bedingungen (ii) und (iii), daB U abgeschlossen unter der Addition und der skalaren Multiplikation ist. Weiter iibertragen sich allgemeine Eigenschaften der Verkniipfungen wie Assoziativităt, Kommutativităt, Distributivităt usw. in direkter Weise von V auf U. Nach Voraussetzung gilt U -=1- 0. Es enthălt U daher ein Element a. Dann gehărt auch -a = (-l)a zu U und damit der Nullvektor O = a-a.
3) (U) = U fUr einen linearen Unterraum U C V. (2) A (4) A c B ~ (A) A,BcV. c (B) und A C (B) ~ (A) c (B) fur Teilmengen Nun zum Beweis von Satz 5. Wir zeigen zunăchst, daB (A) ein linearer Unterraum von V ist. =1 aiai schreiben (oder fUr A i= 0 auch als entsprechende echte Summe mit Koeffizienten ai = O), geh6rt also zu (A). Seien weiter a E K sowie r a= Laiai, i=l Elemente von (A). Dann folgt r aa = L(aai)ai E (A) i=l sowie 2 Dies bedeutet: Ist U c V ein linearer Unterraum mit AcU, 80 folgt bereit8 (A) c U.
Im ubrigen gilt aber auch (A) E ii, d. h. man hat sogar (A) = n UEil U. O Definition 6. Es sei V ein K- Vektarraum. Eine Familie Qt. = (ai)iEI van Elementen aus V heijJt ein Erzeugendensystem van V, wenn jedes a E V eine Darstellung a = I:iEI aiai mit KaeJjizienten ai E K besitzt, wabei ai = O fur fast alle iEI gilt, d. h. fur alle iEI, bis auf endlich viele Ausnahmen. Mit anderen Warlen, Qt. ) gilt. Weiter nennt man V endlich erzeugt, wenn V ein endliches Erzeugendensystem al, ... ,an besitzt.