Linear integral equations: theory and technique by Ram P. Kanwal

By Ram P. Kanwal

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Beispiel 17 Sei g : R → R, g(x) := x 4 . Da wir in diesem Fall mit reellen Zahlen rechnen, haben alle negativen Zahlen kein Urbild, alle positiven jedoch haben eines, es gilt also im(g) = {x ∈ R : x ≥ 0}. Das Urbild eines Punktes y ∈ R, y ≥ 0, ist jede seiner reellen vierten Wurzeln (auf Wurzeln werden wir im Bereich Analysis (Kap. 7) noch einmal ausführlicher eingehen). Zum Beispiel gilt also f −1 (16) = {−2, 2}, da (−2)4 = 24 = 16. 38 3 Abbildungen und Relationen Abb. 1 Bild und Urbild einer Abbildung f : A →B a3 f (A ) ⊂ B a2 b a1 Beispiel 18 Sei h : R2 → C, h(x, y) := (x 2 + y 2 ) + i(x 2 + y 2 ).

Bei einer surjektiven Funktion wird jedes Element b ∈ B von der Abbildung mindestens einmal getroffen“, jedes Element hat also mindestens ein Urbild, es ” gilt also: f −1 (b) ≥ 1 ∀ b ∈ B, und das Bild von f ist ganz B, im( f ) = B. Bei einer bijektiven Funktion muss dies beides erfüllt sein, das heißt, dass wieder im( f ) = B gilt und außerdem f −1 (b) = 1 ∀ b ∈ B, das heißt, jedes b ∈ B hat genau ein Urbild, was wiederum bedeutet, dass für a, a˜ ∈ A gilt, dass f (a) = f (a), ˜ falls a = a. ˜ Sind A und B endliche Mengen, so kann deshalb f : A → B nur bijektiv sein, falls |A| = |B|.

Weiter wissen wir, dass (2, 3) ∈ R7 . Daher stehen 2 und 3 in Relation. Folglich müsste, wenn die Relation zum Beispiel transitiv sein soll, auch 1 und 3 in Relation stehen, also (1, 3) ∈ R7 gelten, was aber offenbar nicht der Fall ist. Daher ist die Relation nicht transitiv. Reflexivität und Symmetrie prüft man ähnlich. 8 von reflexiv, transitiv und symmetrisch Na gut, jetzt haben wir schon einmal Beispiele für Relationen gesehen. 8 werden einige Eigenschaften von Relationen definiert, und wir wollen einmal unsere oben beschriebenen Relationen auf diese Eigenschaften überprüfen.

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