Linear Algebra: Challenging Problems for Students, Second by Fuzhen Zhang

By Fuzhen Zhang

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1) Es gibt Elemente 0 ∈ K und 1 ∈ K mit 0 = 1. (2) F¨ ur die Addition gilt x+y =y+x f¨ ur alle x, y ∈ K, x + (y + z) = (x + y) + z f¨ ur alle x, y, z ∈ K, x+0=x f¨ ur alle x ∈ K, und zu jedem x ∈ K existiert ein Inverses Element −x ∈ K mit x + (−x) = 0. (3) F¨ ur die Multiplikation gilt xy = yx x(yz) = (xy)z 1x = x f¨ ur alle x, y ∈ K, f¨ ur alle x, y, z ∈ K, f¨ ur alle x ∈ K, und zu jedem x ∈ K mit x = 0 existiert ein Inverses Element x−1 ∈ K mit xx−1 = 1. (4) Es gilt x(y + z) = xy + xz f¨ ur alle x, y, z ∈ K.

N ∈ K, n ∈ N span (M ) = i=1 Beweis: Sei U der Raum aller Linearkombinationen. Dann ist U ein Unterraum, weil Summe und Vielfache von Linearkombinationen offenbar wieder Linearkombinationen sind. Andererseits muss jeder Unterraum, der M enth¨alt auch alle Linearkombinationen aus M enthalten. Also ist der Raum aller Linearkombinationen der gesuchte aufgespannte Unterraum. ✷ Dieser Beweis der Existenz von span (M ) war konstruktiv. Es gibt aber auch eine direkte M¨ oglichkeit, die in vielen ¨ahnlichen Situationen funktioniert, etwa bei der aufgespannten Untergruppe, oder beim aufgespannten Unterk¨orper.

Die zweite Gleichung gilt wegen 0 = 0v = (1 + (−1))v = 1v + (−1)v = v + (−1)v. Addiert man −v auf beiden Seiten, so erh¨alt man −v = (−1)v. ✷ ¨ KAPITEL 2. 22. Beispiel: Das kanonische“ Beispiel f¨ ur einen Vektorraum u ¨ber K ist ” der K n . Dieser Raum besteht aus allen Spaltenvektoren der L¨ange n, n ∈ N, mit Eintr¨ agen aus K.   x1  ..  n K := { .  : x1 , . . , xn ∈ K}. xn Mengentheoretisch ist jeder Vektor ein n-Tupel aus K. Ob man das Tupel als Spalte oder Zeile darstellt, scheint im Moment egal zu sein.

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