By Robert Gilmore
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Example text
A) Man zeige, daß das Produkt von z, w € S wieder zu S gehört. (b) Man zeige, daß mit z € S auch z-I zu S gehört. (c) Man weiß, daß 1 zu S gehört. Nun sind noch die drei Axiome (Ass), (Inv) , (Neutr) zu prüfen, deren Gültigkeit für die Multiplikation komplexer Zahlen aber schon bekannt ist. h. R - {a + bi I a, b ~ und a 2 € + b 2 = I} • (a) Zeigen Sie, daß auch Reine multiplikative Gruppe bildet. (b) Es seien a · ~ und n b = So nenner von a und b). h. n sei der Hauptp, q, n bilden ein sog. pythagoreisches Tripel.
A(z) und der Betrag Izl heißen die Polarkoordinaten von z ~ O. Für 0 sind keine Polarkoordinaten definiert. Mit dem zu a(z) gehörigen Bogen a. ist a(z) = cos a. + i sin a.. Winkel) als Polarkoordinate von z In vielen Texten wird (an Stelle von a(z» a. (Bogen, genommen. Für uns macht das keinen wesentlichen Unterschied. Wie man sofort ausrechnet, gilt a(zw) a(zw) .. = a(z) zw TzWf" • a(w): zw Iz I Iw I = a(z) a(w) • Hieraus erhält man die Multiplikationsformel zw .. a(z) a(w) Iz I Iwl • 42 Komplexe Zahlen werden multipliziert, indem man die zugehörigen Bögen (Winkel) addiert und die zugehörigen Beträge multipliziert.
Funktionseigenschaften f : X ~ Y heißt Die Funktion injektiv, falls gilt: Yx l , x2 € X: wenn xI # x 2 ' so f(x l ) ~ f(x 2 ) , surjektiv, falls gilt: Vy € Y: Es gibt x € X mi t f(x) = Y• bijektiv, falls sie sowohl injektiv als auch surjektiv ist. Äquivalente Formulierungen in anderen Worten: für injektiv: (i) verschiedene Argumente haben auch verschiedene Bilder (ii) wenn f(x l ) = f(x 2 ), so xI = x2 (durch Kontraposition) für surjektiv: (iii) jedes (iv) das Bild der Menge X ist ganz Y y (v) fX = Y € Y kommt als Funktionswert vor 28 Statt injektiv sagen manche Autoren auch 'eineindeutig' (engl.