By Martin Aigner, Günter M. Ziegler, Karl H. Hofmann
Diese deutlich erweiterte dritte deutsche Auflage von "Das BUCH der Beweise" enthält fünf neue Kapitel, in denen es um Klassiker geht wie den "Fundamentalsatz der Algebra", um kombinatorisch-geometrische Zerlegungsprobleme, aber auch um Beweise aus letzter Zeit, etwa für die "Kneser-Vermutung" in der Graphentheorie.
Die Neuausgabe wartet auch mit weiteren Verbesserungen und Überraschungen auf - darunter ein neuer Beweis für "Hilberts drittes Problem".
Aus den Rezensionen der bisherigen Ausgaben:
"Ein prächtiges, äußerst sorgfältig und liebevoll gestaltetes Buch! Erdös hatte die Idee DES BUCHES, in dem Gott die perfekten Beweise mathematischer Sätze eingeschrieben hat. Das hier gedruckte Buch will eine "very modest approximation" an dieses BUCH sein.... Das Buch von Aigner und Ziegler ist gelungen ..." Mathematische Semesterberichte, November 1999
"Unermüdlich reiste Paul Erdös durch die Welt und stellte neue Theoreme auf. Jetzt haben zwei seiner Kollegen sein schönstes Werk vollendet: Das BUCH der Beweise - ein Feuerwerk mathematischer Geistesblitze. ......" Die Weltwoche 18. April 2002
"... Martin Aigner ... und Günter Ziegler referieren sympathisch einige dieser gottgefälligen Geistesblitze. ... Der Beweis selbst, seine Ästhetik, seine Pointe geht ins Geschichtsbuch der Königin der Wissenschaften ein. Ihre Anmut offenbart sich in dem gelungenen und geschickt illustrierten Buch über das BUCH. Um sie genießen zu können, lohnt es sich, das bißchen Mathe nachzuholen, das wir vergessen haben oder das uns von der Schule vorenthalten wurde." Die Zeit, 13.August 1998
...Hier ist es additionally, das BUCH der Beweise in der wunderbaren model von Martin Aigner und Günter Ziegler ....Wer (wie ich) bislang vergeblich versucht hat, einen Blick ins BUCH zu werfen, wird begierig in Aigners und Zieglers BUCH der Beweise schmökern. ... www.mathematik.de, Mai 2002
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Unterschiedliche Versionen dieser originellen Idee wurden immer wieder entdeckt und publiziert, unter anderem von F. Holme (1970), I. Papadimitriou (1973), und von Ransford (1982), der ihn damals John Scholes zuschrieb. Beweis. Der erste Schritt besteht in einer bemerkenswerten Relation zwischen Werten der quadrierten Kotangens-Funktion. Es gilt n¨amlich f¨ur alle m ≥ 1 cot2 π 2m+1 + cot2 2π 2m+1 + . . + cot2 mπ 2m+1 = 2m(2m−1) . 6 (1) Um dies zu beweisen, beginnen wir mit der Relation eix = cos x + i sin x.
Mit q > 1 gilt offenbar qQ = 1 + 1 q + 1 q2 + ... = 1 + Q und damit 1 Q = . q−1 der ungef¨ahr nb ist, also f¨ur große n eben nicht ganzzahlig sein kann. Er ist b n¨amlich gr¨oßer als n+1 und kleiner als nb , wie man aus dem Vergleich mit einer geometrischen Reihe sieht: 1 < n+1 < 1 1 1 + + + ... n + 1 (n + 1)(n + 2) (n + 1)(n + 2)(n + 3) 1 1 1 1 + + + ... = . -Trick nicht einmal ausreicht, um zu zeigen, dass e2 irrational ist. Das ist eine st¨arkere √ Aussage: 2 ist ein Beispiel einer Zahl, die irrational ist, ihr Quadrat aber nicht.
B ORWEIN & K. D ILCHER : Pi, Euler numbers, and asymptotic expansions, Amer. Math. Monthly 96 (1989), 681-687. [4] S. F ISCHLER : Irrationalit´e de valeurs de zˆeta (d’apr`es Ap´ery, Rivoal, . . ), Bourbaki Seminar, No. 910, November 2002; Ast´erisque 294 (2004), 27-62. [5] J. C. L AGARIAS : An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis, Amer. Math. Monthly 109 (2002), 534-543. [6] W. J. L E V EQUE : Topics in Number Theory, Vol. I, Addison-Wesley, Reading MA 1956. [7] A. M. YAGLOM & I.