By Gaillard P.
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On en d´eduit les cas suivants : 48 1. Il n’y a pas de condition sur α and k si et seulement si α1 = α2 = α3 = α4 = 0. Dans ce cas, le semi-invariant le plus g´en´erique de G1 “venant” ˜ 1 est de la forme d’un invariant de G f = α5 (x21 x23 + x22 x24 ) + α6 (x21 x24 + x22 x23 ) + α7 x1 x2 x3 x4 avec α5 (α6 − 1/4 α7 ) = α52 + 1/4 α6 α7 + 1/8 α72 = α62 + 1/4 α6 α7 − 1/8 α72 = 0. Les relations possibles entre les αi et les λi montrent que tous les semiinvariants ne correspondent pas toujours au mˆeme caract`ere de G1 , mais ne pas en tenir compte donne clairement le cas “le pire possible” contenant tous les semi-invariants possibles dans des espaces de semi-invariants pour des caract`eres distincts de G1 .
Le groupe peut ˆetre engendr´e par des ´el´ements σ1 and σ2 appartenant ` a l’unique classe de conjugaison de taille 12 dont les ´el´ements sont d’ordre 4 et ` a une classe de conjugaison d’´el´ements d’ordre 12 tels que σ3 = (σ1 σ2 )−1 soit d’ordre 8. Consid´erons un revˆetement galoisien de P1 de groupe de Galois G ramifi´e en 0, 1, ∞ selon σ1 , σ2 , σ3 . Le caract`ere de G dans l’espace des 1-formes holomorphes (cf. 2]) contient les deux caract`eres de degr´e 4 exactement une fois. D’apr`es la table de caract`eres (cf.
Pour les groupes suivants, le sous-groupe N sera engendr´e par une famille de matrices de la forme C(j”, k”, r”, 1; p) pour un nombre premier impair p et un nombre fini (´eventuellement nul) de familles de la forme F (j , k ; p ) ou C(j , k , r , 1; p ) pour d’autres nombres premiers impairs p , p . On donne maintenant la liste des groupes G2 possibles : – cas Gc2,1 (j, k, k ) : G2 =< c, x1 , uj , vk , yk > avec j ≥ 1 et k ≥ 2 – cas Gc2,2 (j, k, k ) : G2 =< c, x1 , uj , vk , yk , yk+1 vk+1 > avec j ≥ 1 et k ≥ 1 – cas Gc2,3 (j, k, k ) : G2 =< c, x1 , uj , vk , yk , uj+1 yk+1 vk+1 > avec j ≥ 1 et k≥1 – cas Gc2,4 (j, k, k ) : G2 =< c, x1 , uj , vk , yk+1 vk+1 , uj+1 yk+1 > avec j ≥ 1 et k≥1 – cas Gc2,5 (k, k ) : G2 =< c, yk , vk > avec k ≥ 2 – cas Gc2,6 (k, , k ) : G2 =< c, yk , vk , x1 yk+1 vk+1 > avec k ≥ 1 et ∈ {0, 1} – cas Gc2,7 (k, k ) : G2 =< c, vk , yk+1 vk+1 , x1 yk+1 > avec k ≥ 1 – cas Gc2,8 (k ) : G2 =< c >=< c, x0 > – cas Gc2,9 (k ) : G2 =< c, x1 > – cas Gc2,10 (i, k ) : G2 =< c, ui > avec i ≥ 1 – cas Gc2,11 (i, k ) : G2 =< c, x1 ui+1 > avec i ≥ 1 – cas Gc2,12 (i, k ) : G2 =< c, x1 , ui , y1 , v1 > avec i ≥ 1 – cas Gc2,13 (i, k ) : G2 =< c, x1 , ui , y1 v1 > avec i ≥ 1 – cas Gc2,14 (i, k ) : G2 =< c, x1 , ui , y1 v1 , y1 ui+1 > avec i ≥ 1 – cas Gc2,15 (k ) : G2 =< c, y1 , v1 , x1 u1 > – cas Gc2,16 (k ) : G2 =< c, y1 v1 , x1 u1 > – cas Gc2,17 (k ) : G2 =< c, x1 u1 , y1 v1 , x1 y1 > Pour les groupes suivants (pour lesquels l’image du normalisateur est C), le sousgroupe N sera engendr´e par une famille de matrices de la forme F (j , k ; p) avec j ≥ 0 pour un nombre premier impair p et un nombre fini (´eventuellement nul) de familles de la forme F (j , k ; p ) pour d’autres nombres premiers impairs p .