Algebre commutative : Chapitres 1 a 4 by Nicolas Bourbaki

By Nicolas Bourbaki

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Par a), la suite O -+ N -+ O est exacte, d'où N = 0. Montrons que b) implique c). Supposons b) vérifiée, e t soient v : N' + N un homomorphisme, 1 son image. Comme l'image de T(v) s'identifie à T ( I ) ( § 2, no 3, Remarque 2), l'hypothèse T(v) = O entraîne T(1) = O, donc 1 = O d'après b) et par suite v = 0. Démontrons que c ) entraîne a). Supposons donc c) vérifiée e t considérons une suite N' (1) : N -If N" d'homomorphismes de A-modules à gauche, et la suite correspondante a T(N) %T(N"). T(N1) (2) Si la suite (1) est exacte, ii en est de même de (2),puisque E est plat ( $ 2, no 3, prop.

Puisque l'application canonique E @, F' -+ E @, F est injective, on a aussi et@ fi = O d a n s E @, F' et on peut alors appliquer le lemme 10 d a E et à F' ; on obtient ainsi les familles ( x j ) et (ajz) vérifiant les conditions de (R). Réciproquement, supposons vérifiée la condition ( R ) . Soit F' un sous-module de F, et soit y = E ei @ fi un élément d u noyau i€I d e l'application canonique E @, F' -t E 8,F. Puisque ( R ) est vérifiée, il existe des familles ( x i ) e t (aii) vérifiant les conditions 10 et 20.

Iii) Tout module projectif de type fini admet une présentation finie. L'assertion (i) résulte trivialement des définitions. , chap. VITI, § 2, no 1, prop. 1 et no 3, prop. 7), donc il y a un homomorphisme surjectif v : L, 't R où L, est libre de base finie, et la E 4 O est une présentation finie de E ; suite exacte L, A L, d'où (ii). , chap. , 9 2, no 2, cor. de la prop. 4) ; le noyau R de l'homomorphisme surjectif L, -t E est alors isomorphe à un quotient de L,, donc est de type fini, et on termine comme ci-dessus.

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